Frage an die Mathe-Kenner (Thales)

[Sunbeamer]

Es geht einfach ausgedrückt um die Aufgabe, die auch in Wikipedia abgebildet ist: klick. Man soll die Tangenten von P an den Kreis zeichnen. Nun soll nach der Aufgabe der Abstand der Berührpunkte, also von T zu T ' berechnet werden.

Ich bin kein Mathematikus. Wird von meinem Söhnchen in der 8. Klasse Gym verlangt, dass er aus der gefertigten Zeichnung die Entfernung durch Messen nimmt oder soll das auch gerechnet werden, womöglich mit Formeln?

(Entsetzlich. Latein lerne ich bedeutend lieber mit ihm).

Sunbeamer

[*Landratte*]

Lange her aber das sollte ich noch hin bekommen. Berechnen geht nur über Pythagoras (evtl. Höhensatz) oder sin - cos - tan. Das heißt du brauchst zwei Strecken. Sind eventuell Abstand H und Kreisradius r angegeben?
Die Konstruktion geht so:
Strecke OP verbinden. Kreis um O und Kreis um P mit gleichem Radius.
Dann Kreis um H mit Radius OH oder HP. So bekommst du T und T'.
Jetzt nur noch PT und PT' verbinden. Dann hast du ein rechtwinkliges Dreieck und kannst somit den Pytagoras c = a2 +b2 anweden (Aber nur wenn 2 Stecken bekannt sind).

P.S.: Latein wäre für mich ein Graus!!! Ausser .... Marcus et Cornelia hodie in Colloseum sunt. Sed ubi est Cornelia. Marcus diu expectat. Subito Marcus gaudet. Ibi Cornelia stat ..... bekomm ich nix mehr hin.
Das war das erste Kapitel in unserem Lateinbuch.

[Sunbeamer]

Aaaaaach, klar, ich stand auf der Leitung! Die Strecke OP ist bekannt und der Radius auch. Also kommt man mit dem Satz des Pythagoras weiter.

Klasse! Danke!

Sunbeamer

PS: Dafür, dass der erste Satz vermutlich eine Weile her ist, nicht schlecht.

[hheck]

Latein ist doch einfach (doof):

Puerorum audere est circum placere.
(Der Kinder wagen ist um gefallen)

oder aus Caesar:

Portus plenus esset, Caesar iuxta navigavit!
(als der Hafen voll war, schiffte Caesar daneben)

Ich hatte auch immer ne 6!

Gruß
Helle
M.Y.Franziska

[Sunbeamer]

Nochmal eine Nachfrage. Um die Entfernung von T zu T' zu rechnen, errechne ich die Höhe des Dreiecks OPT und multipliziere die mit 2.

Ich weiß, dass der Radius um O, also die Strecke OT 4 cm ist. Die Strecke OP ist 7 cm lang. Nach Pythagoras ist die Strecke PT demzufolge 5,74 cm lang.

Um die Höhe des Dreiecks zu rechnen, wende ich den Höhensatz an: h² = pq. Ich weiß aber weder p noch q, ich kenne nur die Summe aus p und q.

Wie?

Sunbeamer

[Mr-Flopppy]

da du ja alle Maße des Dreiecks OTP hast könntest du den Winkel an O ausrechnen.
Der Winkel an h is 90° und r ist bekannt. Wenn du zwei winkel und eine Streckenlänge hast kannst du p ausrechnen. ... oder ?

Gruß Hubert

[hheck]

h/OT = PT/PO
PT = Wurzel(OP²-OT²)

Gruß
Helle
M.Y.Franziska

[Sunbeamer]

Zitat von Mr-Flopppy

Wenn du zwei winkel und eine Streckenlänge hast kannst du p ausrechnen. ... oder ?

Ich kenne aber nur den Winkel an T, oder?

[Sunbeamer]

Zitat von hheck

h/OT = PT/PO
PT = Wurzel(OP²-OT²)

PT = Wurzel(OP²-OT²)
Das ist klar. Das habe ich oben schon gerechnet.

Aber das:
h/OT = PT/PO
... verstehe ich nicht?

[Mr-Flopppy]

aber du hast doch die Längen r, OP und TP dazu den Winkel an T

Daraus sollte sich doch der Winkel an O errechnen lassen. (ich hab grad kein Tafelwerk hier)

Hubert

[Mr-Flopppy]

http://www.schulminator.com/mathemat...k_rechtwinklig

demnach ist sin (winkel an O) = TP / OP

[hheck]

Nennen wir den Fußpunkt der Höhe = X

Dann sind die Dreiecke PTO und OTX rechtwinklige Dreiecke.

Die Winkel zwischen OPT und OTX sind auch gleich.
(Schließlich sind die Winkel TOX und TOP ja auch gleich, also sind das 2 kongruente Dreiecke)

Also sind die Seitenverhältnisse der beiden Dreiecke PTO und OTX auch identisch, ok?

Gruß
Helle
M.Y.Franziska

[Sunbeamer]

... ich komme noch gerade so mit, aber ich weiß schon, warum ich beruflich nichts mit Mathe gemach habe ...

Sinus-Rechnung hatten die Kerlchen noch nicht. Ich versuche das jetzt in Ruhe und lasse euch damit zufrieden.

Vielen Dank für die Hilfen!

Sunbeamer

[hheck]

Ja Hubert, über die Winkel geht das auch, bedeutet aber etwas mehr Ungenauigkeit.
Die Seitenverhältnisse machen es meiner Meinung nach etwas einfacher.

Gruß
Helle
M.Y.Franziska

[Mr-Flopppy]

Helle hat recht! Zwei Dreiecke mit zwei gleichen Winkeln haben die selbe Form. Und damit auch gleiche Seitenverhältnisse.

Hubert

[Sunbeamer]

Dann also nochmal:
"h/OT = PT/PO<

Wie ist das als Rechnung gemeint? h:OT = PT:PO ?

[Mr-Flopppy]

ich hab das so gerechnet :

p verhält sich zu OT (also dem Radius) wie OT zu zu OP

daraus ergibt sich p = OT² / OP = 4² / 7 = 16 / 7 = 2,286 ....

könnte das in eurem Beispiel hinkommen ?

[hheck]

Ja,
kannste umstellen:

h = (PT/PO) x OT

und:
PT = Wurzel ( 7² - 4²)

h = Wurzel (7² - 4²) / 7 x 4

h = 5.7446 / 7 x 4

h = 3.283

TT' = 2h = 6.566

hoffe, habe richtig gerechnet,

Gruß
Helle
M.Y.Franziska

[Mr-Flopppy]

Ich komme auf 6,5653....

Liegt aber wohl an meiner Rundung beim ausrechnen von p

Hubert

PS .... so liebe ich das !

[Sunbeamer]

Perfekt. Das hatte ich ganz zu Anfang auch aus der Zeichnung gemessen.

Vielen Dank! Ihr wart wieder mal ganz toll mit eurer Hilfe!

Sunbeamer